【学习笔记】[集训队互测 2021] 数列重排

其实这种纯贪心的题目是可以做出来的。

考虑怎么计算$f\left(x\right)$。

首先，区间$\text{mex}\ge k$等价于$0\sim k-1$都在区间中出现过。只考虑$

现在考虑插入$\ge k$的数。你发现不是很好算，但是可以转化成计算插入一个数对答案的增量。具体的，每次可以看成是在长度为$k$且$\text{mex}$为$k$的子区间前面插入一个数，设这个数前面已经插入了$x_i$个数，插入前序列总长度为$len$，那么答案为：

$$△=len-2(k-1)-x_i$$

然后令$x_i$增加$1$。

现在我们考虑在两端插入数的情况。此时答案为：

$$△=len-(k-1)-x_i$$

因此，排除掉前面那部分固定的贡献，初始将两端的$x_i:=k-1$，其余的置为$0$，我们可以将问题抽象成：每次选择一个数$x_i$，令答案加上$x_i$，然后$x_i$减少$1$。

暴力计算即可。复杂度$O\left(m\right)$。

$\text{remark}$ 对于这种纯贪心的题目，**大胆猜结论**。大多数情况下这样做都是对的，细节留到最后考虑。 其实还有几道纯贪心的题目： [CF887F Row of Models](https://www.luogu.com.cn/problem/CF887F) [CF1806F2 GCD Master (hard version)](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1806F2) [CF1891E Brukhovich and Exams](https://codeforces.com/contest/1891/problem/E)（第一次ak div2） 反正我的感觉是结论**基本**都猜得到，但是有些细节考虑不到。比如GCD Master那道题就没有想到对于相同的数怎么处理。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int N=1e7+5;
int m,l,r,X;
ll sm[N],ans;
string str;
ll calc(ll l,ll r){
    l%=mod,r%=mod;
    return (r+l)*(r-l+1)%mod*(mod+1>>1)%mod;
}
void add(ll &x,ll y){
    x=(x+y)%mod;
} 
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>m>>l>>r>>X>>str;
    for(int i=1;i<=m;i++)sm[i]=sm[i-1]+X+str[i-1]-'0';
    if(l==0){
        ll x=sm[m]%mod;
        ll y=x*(x+1)%mod*(mod+1>>1)%mod;
        ans=y;
    }
    ll mul=1;int mi=X+1;
    for(int i=1;i<=r;i++){
        mul=mul*233%mod;
        if(str[i-1]=='0')mi=X;
        if(i>=l){
            ll len=sm[i],x=sm[m]-sm[i],res=0;
            add(res,calc(1,len-i+1));
            add(res,calc(len,len+x-1));
            add(res,-2*(i-1)*x);
            if(x<=2*(i-1)){
                ll a=x/2,b=x%2;
                add(res,2*calc(i-a,i-1));
                add(res,b*(i-1-a));
            }
            else{
                x-=2*(i-1);
                ll a=x/(mi+1),b=x%(mi+1);
                add(res,2*calc(1,i-1));
                add(res,-calc(1,a-1)*(mi+1));
                add(res,-a*b);
            }
            res=res*mul%mod;
            res=(res+mod)%mod;
            ans^=res;
        }
    }cout<<ans;
}